En muchas operaciones bancarias se otorgan préstamos en cuyos documentos se mencionan descuentos compuestos.
Antes de estudiar los diferentes tipos de descuentos, es conveniente que el lector conozca los siguientes conceptos:
Valor nominal de un pagaré
Es el capital de la deuda. Si el pagaré no devenga interés, la cantidad a pagar al vencimiento es idéntica al valor nominal.
Tipo de descuento compuesto
Es la razón del descuento correspondiente al último periodo y el monto nominal de la deuda del vencimiento.
Valor Actual
Es la cantidad que el prestatario recibe después de haber deducido el descuento compuesto del valor nominal del pagaré, o bien, del monto nominal del pagaré según sea el caso, el cual se obtiene con la siguiente fórmula:
VA = VN – D
Por tanto VA = VN (1 – d)
Donde
VA = valor actual
VN = valor nominal (valor de un pagaré a su vencimiento)
d = tasa de descuento
Cuando se quiere calcular el valor actual de una deuda descontada anualmente por “n” períodos, se sigue este procedimiento:
En el primer año se tiene:
VA = VN (1 – d)
Al segundo año,
VA= VN (1–d).(1–d) = VN (1–d)2
Continuando con el mismo procedimiento durante “n” años se tiene:
VA = VN. (1 – d)n
Descuento compuesto
Si tomamos al descuento compuesto en función a la tasa de interés, es lógico pensar que el valor actual capitalizado a la tasa de interés “i” nos llevaría al valor nominal al cabo de “n” períodos. Entonces la fórmula sería:
VN = VA. (1+i) n
De donde se deduce que el valor actual sería:
VA = VN
(1 + i)n
Ahora bien, si el descuento compuesto se entiende como la diferencia entre el monto a pagar y su valor presente obtenido por medio de una tasa de interés compuesto, tendríamos:
D = VN – VA
Tomando en cuenta que el Valor Actual en términos de tasa de interés compuesto es:
VA = VN
(1 + i)n
Partiendo de esto, es posible expresar el descuento neto tanto en función del valor actual (VA) como en función del valor nominal (VN)
D = VN. ( 1 - 1 / ( 1 + i )n )
O bien,
D = VA (1 + i) n - 1
Equivalencia entre la tasa efectiva de interés i y la tasa efectiva de descuento “d”
Partiendo de que el Descuento Compuesto puede abordarse desde la tasa de interés “i” ó de la tasa de descuento “d”, podemos llegar a la conclusión que a cada tasa de interés i le corresponde a una tasa de descuento d siendo ambas equivalentes; dicha relación se establece de la siguiente manera:
Si por un lado
VA = VN
(1 + i)n
y por otro
VA = VN (1 – d)
Podemos partir de la siguiente igualdad:
VN (1 – d) = VN
(1 + i)n
Si despejamos llegaremos a las equivalencias buscadas. Es decir:
i = d
1 – d
Y
d = i
1 + i
Ejercicios:
1. Supóngase una tasa de descuento del 11% anual en operaciones que abarcan dos o más años, ¿a qué tasa efectiva de interés equivale?
2. ¿Qué tasa de descuento compuesto anual es equivalente a una tasa de interés efectiva del 10%?
3. Sea una tasa de descuento del 8 % anual; ¿a qué tasa efectiva de interés equivale? Por tanto, la tasa de descuento del 8% anual equivale aproximadamente a la tasa de interés efectiva del 8.70%.
4. ¿Qué tasa de descuento compuesto anual es equivalente a una tasa de interés efectiva del 12%? Por tanto, la tasa de interés efectiva del 12% equivale aproximadamente a una tasa de descuento anual del 10.71%.
5. ¿Cuál es el descuento compuesto verdadero a una tasa nominal del 12% de interés anual compuesto, capitalizable bimestralmente, sobre $15 000.00 a pagar dentro de 15 años?
6. ¿Cuál es el descuento compuesto verdadero a una tasa nominal del 18% de interés anual compuesto, capitalizable trimestralmente, sobre $8 500.00 a pagar dentro de 12 años?
7. ¿Cuál es el descuento compuesto verdadero a una tasa nominal del 8% de interés compuesto, capitalizable trimestralmente, sobre $5 000.00 a pagar dentro de 5 años? Por tanto, el descuento compuesto verdadero es de $1 635.14.
8. ¿Cuál es el descuento compuesto verdadero a una tasa nominal del 12% de interés compuesto, capitalizable semestralmente, sobre $2 500.00 a pagar dentro de 10 años? Por tanto, el descuento compuesto verdadero es de $1 720.49.
